题目内容

已知函数f（x）=x2-4x+（2-a）lnx（a∈R，a≠0）．
（1）当a=8时，求函数f（x）的单调区间及极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（1）先求出函数的导数，得出单调区间．从而求出极小值；（2）先求出函数的导数，通过讨论a的取值范围，从而确定函数的逗逗区间．
解答： 解：（1）依题意得，当a=8时，f（x）=x2-4x-6lnx，
∴f′（x）=2x-4-
6
x
=
2(x+1)(x-3)
x
，
由f′（x）＞0，得（x+1）（x-3）＞0，
解得x＞3或x＜-1．注意到x＞0，
∴函数f（x）的单调递增区间是（3，+∞）．
由f′（x）＜0，得（x+1）（x-3）＜0，
解得-1＜x＜3，注意到x＞0，
∴函数f（x）的单调递减区间是（0，3）．
综上所述，函数f（x）在x=3处取得极小值，
这个极小值为f（3）=-3-6ln3．
（2）f（x）=x2-4x+（2-a）lnx，
∴f′（x）=2x-4+
2-a
x
=
2x2-4x+2-a
x
．
设g（x）=2x2-4x+2-a．
①当a≤0时，有△=16-4×2×（2-a）=8a≤0，
此时g（x）≥0，
∴f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当a＞0时，△=16-4×2×（2-a）=8a＞0，
令f′（x）＞0，即2x2-4x+2-a＞0，
解得x＞1+
2a
2
或x＜1-
2a
2
，
令f′（x）＜0，即2x2-4x+2-a＜0，
解得1-
2a
2
＜x＜1+
2a
2
．
当0＜a＜2时，1-
2a
2
＞0，
此时函数的单调递增区间是（0，1-
2a
2
），（1+
2a
2
，+∞）
单调递减区间是（1-
2a
2
，1+
2a
2
）；
当a≥2时，1-
2a
2
≤0，
函数的单调递增区间是（1+
2a
2
，+∞），
单调递减区间是（0，1+
2a
2
）．
综上可知，当a≤0时，函数在（0，+∞）上单调递增；
当0＜a＜2时，函数在（0，1-
2a
2
），（1+
2a
2
，+∞）上单调递增，
在（1-
2a
2
，1+
2a
2
）上单调递减；
当a≥2时，函数在（1+
2a
2
，+∞）上单调递增，
在（0，
2a
2
）上单调递减．
点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求函数的极值问题，是一道中档题．
练习册系列答案
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1
n(n+1)
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A、
1
20
B、
1
21
C、
2
21
D、
1
10
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22
1
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32
22
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n
2
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2
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3
5
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1
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．
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1
2
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