Question

已知函数f（x）=mx+lnx，m∈R
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）求证：f（x）_最大值≥2

2+m

-3．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）通过求导得f′（x）=m+

1

x

，m≥0时，f′（x）＞0，该函数无极值，m＜0时，函数在x=-

1

m

时有极值；
（Ⅱ）将证明不等式的问题转化为比较两个函数的最值问题，从而问题得以解决．

解答： （Ⅰ）解：∵f′（x）=m+

1

x

，
m≥0时，f′（x）＞0，该函数无极值
m＜0时，函数在x=-

1

m

时，函数取得极大值-1-ln（-m），极小值不存在
（Ⅱ）证：由（Ⅰ）得：m＜0时，f（x）_max=-1-ln（-m），
∴即证-1-ln（-m）≥2

2+m

-3，
令

2+m=t

，
∴m=2-t²，
即证e^2-2t≥2-t²
∵-2≤m＜0，
∴-

2

≤t≤

2

，
令y₁=e^2-2t，y₂=2-t²，
当t=

2

时，y₁ 最小，y₁ min=e2-2

2

＞0，
当t＞0时，y₂递减，t=

2

时，y₂=0，
∴y₁≥y₂，
∴f（x）_最大值≥2

2+m

-3．

点评：本题考察了函数的最值问题，导数的应用问题，渗透了转化思想，换元思想，以及二次函数和指数函数的性质问题，是一道综合题．