Question

（本小题满分12分）
某建筑物的上半部分是多面体, 下半部分是长方体（如图）. 该建筑物的正视图和侧视图（如图）, 其中正(主)视图由正方形和等腰梯形组合而成，侧(左)视图由长方形和等腰三角形组合而成.


（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求该建筑物的体积.

Answer 1

（1）直线与平面所成角的正弦值为.
（2）二面角的余弦值为.（3）建筑物的体积为.

试题分析：解法1：（1）作平面，
垂足为，连接，则是直线与平面所成的角.  ………………1分
由于平面平面，
故是直线与平面所成的角.……2分
作，垂足为，连接，
∵平面，∴.
∵平面，平面，
∴平面.
由题意知，
在Rt△中，，
在Rt△ 中，，在Rt△ 中，，
∴直线与平面所成角的正弦值为.        ………………………… 4分
（2）延长交于点，连接，由（1）知平面
∵平面，∴.∵，∴. 
∴是二面角的平面角.        ………………………… 6分
在△中，，∵，∴.
∴二面角的余弦值为.             …………………………… 8分
（3）作交于点，作交于点，由题意知多面体可分割为两个等体积的四棱锥和和一个直三棱柱.
四棱锥的体积为，
直三棱柱的体积为， 
∴多面体的体积为.         ……………10分
长方体的体积为.   ………… 11分
∴建筑物的体积为.  …………………… 12分
解法2：（参照解法1评分）
（1）以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系（如图），

作平面，垂足为，作，垂足为，依题意知，,
则，.
∴.
∵平面，∴平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，则. 
∴直线与平面所成角的正弦值为.
（2）由(1)知,设平面的法向量为，
由， ，得取平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，由，，得
∴平面的一个法向量为.
∵，   ∴二面角的余弦值为.
（3）（同解法1） 略
点评：本题通过考查直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力、考查化归与转化思想，函数与方程思想等．利用空间向量，往往使问题的解答得以简化，属中档题。