Question

（本题满分13分）如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径．

（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）设，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为．
（ⅰ）当点C在圆周上运动时，求的最大值；
（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值．

Answer 1

（Ⅰ）见解析
（Ⅱ）（ⅰ）  （ii）

（Ⅰ）因为平面ABC，平面ABC，所以，
因为AB是圆O直径，所以，又，所以平面，
而平面，所以平面平面．          ………3分
（Ⅱ）（i）有AB=AA₁=2，知圆柱的半径，其体积
三棱柱的体积为，
又因为，所以，
当且仅当时等号成立，从而，
故当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值是．             ………8分
(ii）方法一：延长A₁A，B₁O交于G，取AC中点H，连OH，则OH∥BC，且，OH⊥平面，过H作HK⊥CG，连OK，则，在Rt中，作，则 有，则，在Rt中，，
方法二：取AC中点H，可用射影面积法
方法三：由（i）可知，取最大值时，，于是以O为坐标原点，
建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），B（0，1，0），（0，1，2），
因为平面，所以是平面的一个法向量，
设平面的法向量，由，故，
取得平面的一个法向量为，因为，
所以．              ………13分