Question

12．已知数列{$\frac{{a}_{n}}{2n-1}$}的前n项和为S_n，若S_n+$\frac{{4}^{n+1}}{{5}^{n}}$=4．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）数列{$\frac{{a}_{n}}{2n-1}$}的前n项和为S_n，S_n+$\frac{{4}^{n+1}}{{5}^{n}}$=4，即S_n=4-$\frac{{4}^{n+1}}{{5}^{n}}$．n≥2时，$\frac{{a}_{n}}{2n-1}$=S_n-S_n-1，可得：a_n．n=1时a₁=$\frac{4}{5}$，对于上式也成立．可得a_n
（2）利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵数列{$\frac{{a}_{n}}{2n-1}$}的前n项和为S_n，S_n+$\frac{{4}^{n+1}}{{5}^{n}}$=4，即S_n=4-$\frac{{4}^{n+1}}{{5}^{n}}$．
∴n≥2时，$\frac{{a}_{n}}{2n-1}$=S_n-S_n-1=4-$\frac{{4}^{n+1}}{{5}^{n}}$-$（4-\frac{{4}^{n}}{{5}^{n-1}}）$，
可得：a_n=（2n-1）•$（\frac{4}{5}）^{n}$．
n=1时a₁=4-$\frac{{4}^{2}}{5}$=$\frac{4}{5}$，对于上式也成立．
∴a_n=（2n-1）•$（\frac{4}{5}）^{n}$，n∈N*；
（2）数列{a_n}的前n项和T_n=$\frac{4}{5}$+3×$（\frac{4}{5}）^{2}$+5×$（\frac{4}{5}）^{3}$+…+（2n-1）•$（\frac{4}{5}）^{n}$．
∴$\frac{4}{5}$T_n=$（\frac{4}{5}）^{2}$+3×$（\frac{4}{5}）^{3}$+…+（2n-3）•$（\frac{4}{5}）^{n}$+（2n-1）$•（\frac{4}{5}）^{n+1}$．
∴$\frac{1}{5}$T_n=$\frac{4}{5}$+2×$[（\frac{4}{5}）^{2}+（\frac{4}{5}）^{3}$+…+$（\frac{4}{5}）^{n}]$-（2n-1）$•（\frac{4}{5}）^{n+1}$=$\frac{4}{5}$+2×$\frac{\frac{16}{25}[1-（\frac{4}{5}）^{n-1}]}{1-\frac{4}{5}}$-（2n-1）$•（\frac{4}{5}）^{n+1}$．
可得T_n=36-（8n+36）×$（\frac{4}{5}）^{n}$．

点评 本题考查了数列递推公式、错位相减法、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．