Question

1．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n²+a_n（n∈N*），则$\sum_{n=1}^{2018}$$\frac{1}{{a}_{n}+1}$的整数部分是1．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n²+a_n（n∈N*），可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，利用裂项求和可得：$\sum_{n=1}^{2018}$$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=2-$\frac{1}{{a}_{2019}}$．另一方面：a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=$\frac{15}{16}$，a₄=$\frac{255}{256}$，a₅=$（\frac{255}{256}）^{2}$+$\frac{255}{256}$＞1，因此n≥4时，$\frac{1}{{a}_{n}}$∈（0，1）．即可得出$\sum_{n=1}^{2018}$$\frac{1}{{a}_{n}+1}$的整数部分．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n²+a_n（n∈N*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴$\sum_{n=1}^{2018}$$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}）$+$（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{2018}}-\frac{1}{{a}_{2019}}）$=2-$\frac{1}{{a}_{2019}}$．
另一方面：a₂=$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，a₃=$（\frac{3}{4}）^{2}+\frac{3}{4}$=$\frac{15}{16}$，a₄=$（\frac{15}{16}）^{2}+\frac{15}{16}$=$\frac{255}{256}$，a₅=$（\frac{255}{256}）^{2}$+$\frac{255}{256}$＞1，
因此n≥4时，$\frac{1}{{a}_{n}}$∈（0，1）．
∴$\sum_{n=1}^{2018}$$\frac{1}{{a}_{n}+1}$的整数部分是1．
故答案为：1．

点评 本题考查了数列递推公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．