Question

9．（1）θ是第三象限角，且${sin^4}θ+{cos^4}θ=\frac{5}{9}$，求sin2θ；
（2）化简$\frac{{\sqrt{1-2sin{{10}°}cos{{10}°}}}}{{sin{{170}°}-\sqrt{1-{{sin}^2}{{170}°}}}}$
（3）已知$sinα+cosα=\frac{1}{5}（0＜α＜π）$，求$\frac{{sin（α-\frac{π}{4}）}}{2sinαcosα}$．

Answer 1

分析 （1）由（sin²θ+cos²θ）²=1，求出2sin²θcos²θ=$\frac{4}{9}$，由此能求出sin2θ．
（2）利用同角三角函数关系式化简求值．
（3）由$sinα+cosα=\frac{1}{5}（0＜α＜π）$，求出sinα，cosα，由此能求出$\frac{{sin（α-\frac{π}{4}）}}{2sinαcosα}$的值．

解答 解：（1）∵θ是第三象限角，且${sin^4}θ+{cos^4}θ=\frac{5}{9}$，
∴sinθ＜0，cosθ＜0，
（sin²θ+cos²θ）²
=sin⁴θ+cos⁴θ+2sin²θcos²θ
=$\frac{5}{9}+2si{n}^{2}θco{s}^{2}θ$=1，
∴2sin²θcos²θ=$\frac{4}{9}$，
sin2θ=2sinθcosθ=2×$\sqrt{\frac{2}{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（2）$\frac{{\sqrt{1-2sin{{10}°}cos{{10}°}}}}{{sin{{170}°}-\sqrt{1-{{sin}^2}{{170}°}}}}$=$\frac{\sqrt{（sin10°-cos10°）^{2}}}{sin10°-\sqrt{co{s}^{2}10°}}$=$\frac{cos10°-sin10°}{sin10°-cos10°}$=-1．
（3）∵$sinα+cosα=\frac{1}{5}（0＜α＜π）$，①
∴1+2sinαcosα=$\frac{1}{25}$，∴sinαcosα=-$\frac{12}{25}$，
且sinα＞0，cosα＜0，②
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=1+$\frac{24}{25}$=$\frac{49}{25}$，
∴sinα-cosα=$\frac{7}{5}$，③
联立①②③，得sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{{sin（α-\frac{π}{4}）}}{2sinαcosα}$=$\frac{sinαcos\frac{π}{4}-cosαsin\frac{π}{4}}{2sinαcosα}$=$\frac{\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{24}{25}}$=-$\frac{35\sqrt{2}}{48}$．

点评 本题考查三角函数化简求值，是中档题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式、正弦函数加法定理的合理运用．