Question

如图1，在平面四边形ACPE中，D为AC中点，AD=DC=PD=2，AE=1，且AE⊥AC，PD⊥AC，现沿PD折起使∠ADC=90°，得到立体图形（如图2），又B为平面ADC内一点，并且ABCD为正方形，设F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．
（1）求三棱锥P-GHF的体积；
（2）在线段PC上是否存在一点M，使直线FM与直线PA所成角为60°？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,点、线、面间的距离计算

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）由题意证明平面HFG∥平面PDAE，从而将P到平面GHF的距离转化为HG到平面PDAE的距离，求出体积，
（2）以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，假设存在，利用向量运算求解位置．

解答： 解：（1）∵F、G分别为PB、BE的中点，
∴FG∥PE，
又∵FG?平面PED，PE⊆平面PED，
∴FG∥平面PED，同理，FH∥平面PED．
且HF=0.5AD=1，GF=0.5PE=

5

2

．
∴HF与GF的夹角等于AD与PE的夹角（设为θ），易得，sinθ=

5

5

；
∵平面HFG∥平面PDAE，
∴P到平面GHF的距离即HG到平面PDAE的距离，
过H作PD的垂线，垂足为M，则HM=1为P到平面GHF的距离．
V_P-GHF=

1

3

×

1

2

×1×

5

2

×

5

5

×1=

1

12

．
（2）∵EA⊥平面ABCD，EA∥PD，
∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，PD⊥CD．
又∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥CD．
以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
∵AD=PD=2EA=2，
∴D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1），
假设在线段PC上存在一点M使直线FM与直线PA所成的角为60°，
由题意可设

PM

=λ

PC

，其中0≤λ≤1.

PC

=（0，2，-2），则

PM

=（0，2λ，-2λ），

FP

=（-1，-1，1）．

FM

=（-1，2λ-1，1-2λ）．
∵直线FM与直线PA所成角为60°，

PA

=（2，0，-2），
∴|cos＜

FM

，

PA

＞|=

1

2

，即

|-2-2+4λ|

2 2 • 1+2(2λ-1)2

=

1

2

．
解得，λ=

5

8

，此时，

PM

=（0，

5

4

，-

5

4

），|

PM

|=

5 2

4

．
∴在线段PC上存在一点M，使直线FM与直线PA所成角为60°，此时PM=

5 2

4

．

点评：本题综合考查了空间中点、线、面的位置关系及量的运算，涉及到角时通常用向量的方法求解，可达到简化思路与运算的效果．