Question

某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如图所示）．已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，试说明怎样运土最省工．

 

 

Answer 1

运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工．

【解析】

试题分析：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：（1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP、BP到P同样远．

显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M是分界线上的任意一点．则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|．于是|MA|﹣|MB|=|PB|﹣|PA|=150﹣100=50．从而发现第三类点M满足性质：点M到点A与点B的距离之差等于常数50，由双曲线定义知，点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程．

【解析】
以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy，设M（x，y）是沿AP、BP运土同样远的点，则

|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，

∴|MA|﹣|MB|=|PB|﹣|PA|=50．

在△PAB中，由余弦定理得

|AB|2=|PA|2+|PB|2﹣2|PA||PB|cos60°=17500，且50＜|AB|．

由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上，设此双曲线方程为﹣=1（a＞0，b＞0）．

∵2a=50，4c2=17500，c2=a2+b2，

解之得a2=625，b2=3750．

∴M点轨迹是﹣=1（x≥25）在半圆内的一段双曲线弧．

于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工．