Question

已知函数f（x）=（ax²+x-1）e^x，其中e是自然对数的底数，a∈R，
（Ⅰ）若a≤-

1

2

，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a=-1，对任意的x∈（-∞，0），都有f（x）＞

1

3

x³+

1

2

x²+m，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（I）求导数，分a=-

1

2

，a＜-

1

2

，两种情况讨论．
（Ⅱ）利用导数判断并分别求出f（x）的最小值和g（x）的最大值，得-

3

e

＞

1

6

+m，问题得以解决．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=（2ax-2）•e^x+（x²-2x+1）•e^x=（ax²+2ax+x）e^x=[x（ax+2a+1）]e^x，
令f′（x）=0，得x=0，或x=-

2a+1

a

=-2-

1

a

，
①若a=-

1

2

，f′（x）=-

1

2

x²e^x≤0，函数f（x）在R上单调递减，
②若a＜-

1

2

，当x∈（-∞，-2-

1

a

）和（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
当x∈（-2-

1

a

，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
综上所述，当a=-

1

2

，函数f（x）在R上单调递减，
当a＜-

1

2

，函数f（x）在x∈（-∞，-2-

1

a

）和（0，+∞）时，函数f（x）单调递减，在（-2-

1

a

，0）时，函数f（x）单调递增；
（Ⅱ）当a=-1时，
∴f′（x）=-x（x+1）e^x，
∴函数f（x）在（-1，0）上单调递增，在（-∞，-1）上单调递减，
∴f（x）在x=-1处取得最小值，最小值为f（-1）=-

3

e

，
设g（x）=

1

3

x³+

1

2

x²+m，
则g′（x）=x²+x，
当x＜-1时，g′（x）＞0，当-1＜x＜0时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（-∞，-1）上单调递增，在（-1，0）上单调递增，
故g（x）在x=-1时取得最大值，最大值为g（-1）=

1

6

+m，
由题意可知-

3

e

＞

1

6

+m，
∴m＜-

1

6

-

3

e

故实数m的取值范围为（-∞，-

1

6

-

3

e

）

点评：本题考查函数与导数的综合应用，关键是判断单调性和最值，属中档题．