Question

若存在过点O（0，0）的直线l与曲线f（x）=x³-3x²+2x和y=x²+a都相切，则a的值是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,直线与圆

分析：已知点（0，0）不在曲线y=x³-3x²+2x上，容易求出过点（0，0）的直线与曲线y=x³-3x²+2x相切的切点的坐标，进而求出切线所在的方程；再利用切线与y=x²+a相切，只有一个公共点，两个方程联立，得到一元二次方程，利用判别式为0，即可解出a的值．

解答： 解：由x³-3x²+2x的导数y'=3x²-6x+2，
设曲线y=x³-3x²+2x上任意一点（x₀，x₀³-3x₀²+2x₀）处的切线方程为
y-x₀³+3x₀²-2x₀=（3x₀²-6x₀+2）（x-x₀），
将（0，0）代入方程得x₀=0或x₀=

3

2

，
①当x₀=0时，切线方程为y=2x，
则联立y=2x和y=x²+a，得x²-2x+a=0，由△=4-4a=0，解得，a=1；
②当x₀=

3

2

时，切线方程为y=-

1

4

x，
则联立y=-

1

4

x和y=x²+a，得x²+

1

4

x+a=0，由△=

1

16

-4a=0，解得，a=

1

64

．
综上可得，a=1或

1

64

．
故答案为：1或

1

64

．

点评：熟练掌握导数的几何意义，本题属于中档题，应学会当直线与抛物线相切时，考虑判别式为0这一等式．对于本题需提醒的是，对于类似y=ax²+bx+c这种情况，应考虑讨论a是否为0这一情形．