Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₁=-6，a₃，a₅，a₆成等比数列且互不相等．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，k是整数，若不等式S_n＞a_n对一切n≥k的正整数n都成立，求k的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设出等差数列的公差，由a₃，a₅，a₆成等比数列列式求得等差数列的公差，则等差数列的通项公式可求；
（Ⅱ）求出等差数列的前n项和，由S_n＞a_n求得n的范围，再结合不等式对一切n≥k的正整数n都成立求得k的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d．
由已知得a52=a3•a6，即（-6+4d）²=（-6+2d）•（-6+5d），
解得：d=0（舍去）或d=1，
故a_n=-6+（n-1）•1=n-7；
（Ⅱ）Sn=

n(a1+an)

2

=

n(-6+n-7)

2

=

n(n-13)

2

．
不等式S_n＞a_n，等价于

n(n-13)

2

＞n-7．
∴n²-15n+14＞0，解得n＜1或n＞14，n∈N．
又对一切n≥k的正整数n都成立，
∴正整数k的最小值为15．

点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是中档题．