Question

8．已知函数f（x）=sinx．
（1）当x＞0时，证明：${f^'}（x）＞1-\frac{x^2}{2}$；
（2）若当$x∈（0，\frac{π}{2}）$时，$f（x）+\frac{f（x）}{{{f^'}（x）}}＞ax$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=cosx，设$g（x）={f^'}（x）-（{1-\frac{x^2}{2}}）=cosx-（{1-\frac{x^2}{2}}）$，则g′（x）=1-cosx＞0，由此利用导数性质能证明当x＞0时，${f^'}（x）＞1-\frac{x^2}{2}$．
（2）原不等式等价于sinx+tanx＞ax，设h（x）=sinx+tanx-ax，则${h^'}（x）=cosx+\frac{1}{{{{cos}^2}x}}-a$，$0＜x＜\frac{π}{2}$，令 t=cosx，由 $0＜x＜\frac{π}{2}$，得0＜t＜1，设$t+\frac{1}{t^2}=k（t）$，则${k^'}（t）=1-\frac{2}{t^2}=\frac{{{t^3}-2}}{t^3}＜0$，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）证明：∵函数f（x）=sinx，x＞0，∴f′（x）=cosx，
设$g（x）={f^'}（x）-（{1-\frac{x^2}{2}}）=cosx-（{1-\frac{x^2}{2}}）$，
则g′（x）=-sinx+x，g''（x）=1-cosx＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴g′（x）＞g′（0）=0，
∴当x＞0时，${f^'}（x）＞1-\frac{x^2}{2}$．
（2）当$x∈（0，\frac{π}{2}）$时，$f（x）+\frac{f（x）}{{{f^'}（x）}}＞ax$恒成立，
等价于sinx+tanx＞ax，
设h（x）=sinx+tanx-ax，则${h^'}（x）=cosx+\frac{1}{{{{cos}^2}x}}-a$，$0＜x＜\frac{π}{2}$，
令 t=cosx，由 $0＜x＜\frac{π}{2}$，得0＜t＜1，
设$t+\frac{1}{t^2}=k（t）$${k^'}（t）=1-\frac{2}{t^2}=\frac{{{t^3}-2}}{t^3}＜0$，
∴k（t）在（0，1）上是减函数，∴k（t）＞k（1）=2，
当a≤2时，h′（x）≥0，∴h（x）在$（{0，\frac{π}{2}}）$上是增函数，∴h（x）＞h（0）=0成立，
当a＞2时$t+\frac{1}{t^2}=a$在（0，1）仅有一根，设根为t₀，设cosx=t₀，$0＜x＜\frac{π}{2}$，
存在唯一m有cosm=t₀，
当x∈（0，m）时，${t_0}＜cosx＜1⇒{h^'}（x）＜0$，
∴h（x）在（0，m）上单调递减，∴h（x）＜h（0）=0，
这与条件矛盾，所以a＞2时不成立
综上得到实数a的取值范围是{a|a≤2}．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，正确求导是解题的关键．