Question

3．下列命题正确的是①③．（写出所有正确命题的序号）
①已知a，b∈R，“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件；
②已知平面向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$，“$|\overrightarrow a|＞1$且$|\overrightarrow b|＞1$”是“$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|＞1$”的必要不充分条件；
③已知a，b∈R，“a²+b²≥1”是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件；
④命题P：“?x₀∈R，使${e^{x_0}}≥{x_0}+1$且lnx₀≤x₀-1”的否定为￢p：“?x∈R，都有e^x＜x+1且lnx＞x-1”

Answer 1

分析 ①，由不等式的性质判定；
②，利用向量的加法法则判定；
③，利用单位圆判定；
④，“且”的否定是“或”

解答 解；对于①，已知a，b∈R，“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件，正确；
对于②，向量的加法法则可知，“$|\overrightarrow a|＞1$且$|\overrightarrow b|＞1$”不能得到“$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|＞1$”；“$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|＞1$”，不能得到，“$|\overrightarrow a|＞1$且$|\overrightarrow b|＞1$”，故错；
对于③，如图在单位圆x²+y²=1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a²+b²≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足，“a²+b²≥1”，故正确；


 
对于④，命题P：“?x₀∈R，使${e^{x_0}}≥{x_0}+1$且lnx₀≤x₀-1”的否定为￢p：“?x∈R，都有e^x＜x+1或lnx＞x-1”，故错．
故答案为：①③

点评 本题考查了命题真假的判定，涉及到充要条件、命题的四种形式等基础知识，属于中档题．