Question

已知函数f（x）=

x+a

x2+1

，x∈[-1，1]为奇函数．
（1）求f（

1

2

）的值；
（2）判断f（x）在定义域上单调性，并证明你的结论．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）根据f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），带入f（x）解析式即可求得a；
（2）求f′（x），根据f′（x）在定义域上的符号即可判断f（x）在定义域上的单调性．

解答： 解：（1）f（-x）=

-x+a

x2+1

=-

x+a

x2+1

；
∴-x+a=-x-a，∴a=0；
∴f（x）=

x

x2+1

，f（

1

2

）═

2

5

；
（2）f′（x）=

x2+1-x(2x)

(x2+1)2

=

1-x2

(x2+1)2

；
∵x∈[-1，1]，∴1-x²≥0，f′（x）≥0；
∴函数f（x）在[-1，1]上单调递增．

点评：考查奇函数的定义，以及根据导数符号判断函数在一区间上单调性的方法．