Question

函数f（x）=

3

sinωx•cosωx+sin²ωx+k，（ω＞0）．
（1）若f（x）图象中相邻两条对称轴间的距离不小于

π

2

，求ω的取值范围；
（2）若f（x）的最小正周期为π，且当x∈[-

π

6

，

π

6

]时，f（x）的最大值是

1

2

，求f（x）最小值，并说明如何由y=sin2x的图象变换得到y=f（x）的图象．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,单位圆与周期性,两角和与差的正弦函数,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简f（x）为一个角的一个三角函数的形式，通过图象中相邻两条对称轴间的距离不小于

π

2

，列出ω的不等式，即可求解ω的取值范围；
（2）利用f（x）的最小正周期为π，求出ω，当x∈[-

π

6

，

π

6

]时，求出相位的范围，通过f（x）的最大值是

1

2

，求出k，然后求解f（x）最小值，利用三角函数的平移变换说明由y=sin2x的图象变换得到y=f（x）的图象．

解答： （10分）
解：f（x）=

3

2

sin2ωx+

1-cos2ωx

2

+k
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+

1

2

+k
=sin(2ωx-

π

6

)+k+

1

2

．（3分）
（1）由题意可知

T

2

=

π

2ω

≥

π

2

，∴ω≤1．
又ω＞0，∴0＜ω≤1．（5分）
（2）∵T=

π

ω

=π，∴ω=1．∴f（x）=sin(2x-

π

6

)+k+

1

2

．
∵x∈[-

π

6

，

π

6

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

2

，

π

6

]
从而当2x-

π

6

=

π

6

，即x=

π

6

时，f_max（x）=f(

π

6

)=sin

π

6

+k+

1

2

=k+1=

1

2

，
∴k=-

1

2

，故f（x）=sin(2x-

π

6

)，
∴当2x-

π

6

=-

π

2

，即x=-

π

6

时f（x）取最小值-1（9分）
把y=sin2x的图象向右平移

π

12

个单位得到y=sin(2x-

π

6

)的图象． （10分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的图象与性质，考查计算能力．