题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1⊥MB2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在异于M的定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在异于M的定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）利用离心率为
，可得
=
，由椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1⊥MB2，可得△MB1B2是等腰直角三角形，由此可求椭圆C的方程；
（2）设线AB的方程与椭圆C的方程联立，利用韦达定理，结合PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，建立方程，即可求得结论．
| ||
| 3 |
| b |
| a |
| 2 |
| 3 |
（2）设线AB的方程与椭圆C的方程联立，利用韦达定理，结合PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，建立方程，即可求得结论．
解答：
解：（1）因为椭圆的离心率为
，所以1-
=
，
所以
=
依题意△MB1B2是等腰直角三角形，从而b=2，故a=3，
所以椭圆C的方程是
+
=1；．…（5分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=my+2．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得 （4m2+9）y2+16my-20=0．…（7分）
所以y1+y2=
．…（8分）
若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA+kPB=0．…（9分）
设P（a，0），则有
+
=0．
将x1=my1+2，x2=my2+2代入上式，整理得
=0，
所以 2my1y2+（2-a）（y1+y2）=0．…（12分）
将y1+y2=
，y1y2=
代入上式，整理得（-2a+9）•m=0．…（13分）
由于上式对任意实数m都成立，所以a=
．
综上，存在定点P（
，0），使PM平分∠APB．…（14分）
| ||
| 3 |
| b2 |
| a2 |
| 5 |
| 9 |
所以
| b |
| a |
| 2 |
| 3 |
依题意△MB1B2是等腰直角三角形，从而b=2，故a=3，
所以椭圆C的方程是
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=my+2．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得 （4m2+9）y2+16my-20=0．…（7分）
所以y1+y2=
| -16m |
| 4m2+9 |
若PM平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以kPA+kPB=0．…（9分）
设P（a，0），则有
| y1 |
| x1-a |
| y2 |
| x2-a |
将x1=my1+2，x2=my2+2代入上式，整理得
| 2my1y2+(2-a)(y1+y2) |
| (my1+2-a)(my2+2-a) |
所以 2my1y2+（2-a）（y1+y2）=0．…（12分）
将y1+y2=
| -16m |
| 4m2+9 |
| -20 |
| 4m2+9 |
代入上式，整理得（-2a+9）•m=0．…（13分）
由于上式对任意实数m都成立，所以a=
| 9 |
| 2 |
综上，存在定点P（
| 9 |
| 2 |
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查存在性问题的探究，属于中档题．
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