Question

如图，角A为钝角，且sinA=

3

5

，点P、Q分别是在角A的两边上不同于点A的动点．
（1）设∠APQ=α．∠AQP=β．且cosα=

12

13

．求sin（2α+β）的值；
（2）若PQ=3

5

，求△APQ面积的最大值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角形中的几何计算

专题：三角函数的求值

分析：（1）由题意可得sinα，sin（α+β），cos（α+β）的值，而sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β），代值计算可得；
（2）由余弦定理可得45=AP²+AQ²+

8

5

AP•AQ，由基本不等式可得AP•AQ≤

25

2

，再由三角形的面积公式可得．

解答： 解：（1）由cosα=

12

13

可得sinα=

5

13

，
∵在△APQ中，α+β+A=π，
∴sin（α+β）=sinA=

3

5

，cos（α+β）=-cosA=

4

5

∴sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]
=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）
=

5

13

×

4

5

+

12

13

×

3

5

=

56

65

（2）在△APQ中由余弦定理得：PQ²=AP²+AQ²-2AP•AQ•cosA，
代入数据可得45=AP²+AQ²+

8

5

AP•AQ≥2AP•AQ+

8

5

AP•AQ，
∴AP•AQ≤

25

2

，当且仅当AP=AQ时取到等号，
∴△APQ面积S=

1

2

AP•AQ•sinA≤

15

4

，
∴△APQ面积的最大值为

15

4

点评：本题考查两角和与差的三角函数，涉及余弦定理和基本不等式，属中档题．