Question

已知函数f（x）=（x²-a+1）e^x，g（x）=（x²-2）e^x+2．
（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线为l：y=2ex+b，求a，b的值；
（2）若函数f（x）在[-3，1]上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）有两个不同极值点m，n（m＜n），且|m+n|≥|mn|-1，记F（x）=e²f（x）+g（x），求F（m）的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据导数的几何意义，即可求出切线的斜率，故求出a，b的值，
（2）需要分两种情况讨论，单调递增和单调递减，采用分离参数法，求出参数的最值即可，
（3）先求出a的范围，再求出m的范围，化简F（x），根据导数求出F（m）的最大值．

解答： 解：（1）f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x  
由题意：f′（1）=（4-a）e=2e，
解得：a=2，
∴f（x）=（x²-1）e^x    
又f（1）=0=2e+b，
∴b=-2e   
（2）若函数f（x）在[-3，1]上是单调递增函数
则f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x≥0在[-3，1]上恒成立，
即x²+2x-a+1≥0，
∴a≤x²+2x+1=（x+1）²在[-3，1]上恒成立，
∴a≤0，
若函数f（x）在[-3，1]上是单调递减函数
则f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x≤0在[-3，1]上恒成立，
即x²+2x-a+1≤0，
a≥x²+2x+1=（x+1）²在[-3，1]上恒成立，
∴a≥4，
综上，若函数f（x）在[-3，1]上是单调函数，则a的取值范围是（-∞，0]∪[4，+∞）；
（3）令f′（x）=0得：x²+2x-a+1=0
由题意：△=4-4（1-a）=4a＞0，
即a＞0，
且：m+n=-2，mn=1-a（m＜n），
∵|m+n|≥|mn|-1，
∴|a-1|≤3，
∴0＜a≤4，
∵f′（m）=（m²+2m-a+1）e^m=0，
∴a=m²+2m+1，
∴0＜m²+2m+1≤4
∴-3≤m≤1且m≠-1，
又∵m＜n，
∴-3≤m＜-1
∴F（x）=（x²-a+1）e^x+2+（x²-2）e^x+2=（2x²-a-1）e^x+2
∴F（m）=（2m²-a-1）e^m+2=（m²-2m-2）e^m+2
∴F′（m）=（m²-4）e^m+2
∴F（m）在[-3，-2]上单调递增，在[-2，-1）上单调递减
∴F_max（m）=F（-2）=6．

点评：本题考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值．同时考查了利用导数研究函数的极值，求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．过程中要注意运用导数确定函数的单调性，一般导数的正负对应着函数的单调性．