Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D、E分别是棱BC、CC₁上的点（点D不在BC的端点处），且AD⊥DE，F为B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）求证：A₁F∥平面ADE．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）先证明AD⊥平面B₁BCC₁，然后，得到平面和平面垂直；（Ⅱ）首先，根据（Ⅰ）得AD⊥平面B₁BCC₁，连接DF，得DF∥AA₁，且DF=AA₁，即可得到相应的结论．

解答： 解：（Ⅰ）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，AD平面ABC，∴AD⊥CC₁，∵AD⊥DE，且DE∩CC₁=D，
∴AD⊥平面B₁BCC₁，
∵AD?平面ADE，∴平面ADE⊥平面B₁BCC₁，
（Ⅱ）根据（Ⅰ）得AD⊥平面B₁BCC₁，∵BC?平面B₁BCC₁，
∴AD⊥BC，
在△ABC中，AB=AC，∴D为BC的中点，
连接DF，得DF∥AA₁，且DF=AA₁，即四边形AA₁FD为平行四边形，∴A₁F∥AD，
∵AD?平面ADE，A₁F?平面ADE，
A₁F∥平面ADE．

点评：本题重点考查了空间中直线与平面平行、垂直，直线与直线平行的判定等知识，属于中档题，难度中等，解题关键是准确判断平行和垂直的判定和性质．