Question

设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＞0，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凹函数”，已知f（x）=

1

20

x⁵-

1

12

mx⁴-2x²在区间（1，3）上为“凹函数”，则实数m的取值范围为（　　）

• A、（-∞，

  31

  9

  ）
• B、[

  31

  9

  ，5]
• C、（-∞，-3）
• D、（-∞，5]

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：本题根据二阶导数的定义及函数特征，研究原函数的二阶导数，求出m的取值范围，得到本题结论．

解答： 解：∵f（x）=

1

20

x⁵-

1

12

mx⁴-2x²，
∴f′（x）=

1

4

x⁴-

1

3

mx³-4x，
∴f″（x）=x³-mx²-4．
∵f（x）=

1

20

x⁵-

1

12

mx⁴-2x²在区间（1，3）上为“凹函数”，
∴f″（x）＞0．
∴x³-mx²-4＞0，x∈（1，3）．
∴m＜x-

4

x2

，
∵x-

4

x2

在（1，3）上单调递增，
∴x-

4

x2

在（1，3）上满足：x-

4

x2

＞1-4=-3．
∴m≤-3．
故答案为：C．

点评：本题考查了二阶导数和恒成立问题，本题难度不大，属于基础题．