Question

6．已知sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，θ∈（0，π）．
（1）求tanθ的值；
（2）求$\frac{1-2sinθcosθ}{{{{cos}^2}θ-{{sin}^2}θ}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得sinθ和cosθ的值，可得tanθ的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系，化简要求的式子，再把tanθ的值代入，可得结果．

解答 解：（1）∵sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，θ∈（0，π）①，
平方可得1+2sinθcosθ=$\frac{1}{25}$，∴sinθcosθ=-$\frac{12}{25}$　②，
由①②求得sinθ=$\frac{4}{5}$，cosθ=-$\frac{3}{5}$，∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-$\frac{4}{3}$．
（2）$\frac{1-2sinθcosθ}{{{{cos}^2}θ-{{sin}^2}θ}}$=$\frac{{（cosθ-sinθ）}^{2}}{（cosθ+sinθ）•（cosθ-sinθ）}$=$\frac{cosθ-sinθ}{cosθ+sinθ}$=$\frac{1-tanθ}{1+tanθ}$=-7．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．