Question

11．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{m+9}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的离心率为2，则m的值是-36．

Answer 1

分析 根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程，分析可得a²=9，b²=-（m+9），由双曲线离心率公式可得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{m+9}{9}$=4，解可得m的值．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{m+9}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，则其焦点在y轴上，且m+9＜0，
则双曲线的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{9}$-$\frac{{x}^{2}}{-（m+9）}$=1，
则a²=9，b²=-（m+9），
若双曲线的离心率e=2，则有e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{m+9}{9}$=4，
解可得m=-36，
故答案为：-36．

点评 本题考查双曲线的几何性质，注意先由双曲线的标准方程分析m的取值范围．