Question

已知函数f（x）=x²-（a-2）x+a-3，若函数y=|f（x）|在x∈（2，3）单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据f（x）=x²-（a-2）x+a-3=[x-（a-3）]（x-1），分a-3=1，即a=4时，a-3＞1，即a＞4时和a-3＜1，即a＜4时，三种情况，讨论函数y=|f（x）|的单调性，进而综合讨论结果，可得实数a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=x²-（a-2）x+a-3=[x-（a-3）]（x-1）
当a-3=1，即a=4时，f（x）=x²-2x+1=（x-1）²，
此时y=|f（x）|=f（x）=x²-2x+1=（x-1）²在x∈（2，3）单调递增，满足条件；
当a-3＞1，即a＞4时，函数y=|f（x）|的单调递增区间为[1，

a-2

2

]和[a-3，+∞）
若函数y=|f（x）|在x∈（2，3）单调递增，
则3≤

a-2

2

，或a-3≤2
解得a≥8，或a≤5
∴4＜a≤5，或a≥8，
当a-3＜1，即a＜4时，函数y=|f（x）|的单调递增区间为[a-3，

a-2

2

]和[1，+∞）
此时函数y=|f（x）|在x∈（2，3）单调递增，满足条件；
∴a＜4
综上所述，实数a的取值范围为a≤5，或a≥8，

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，函数图象的对折变换，函数单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．