Question

已知函数f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx，a∈R．
（1）若a=1，判断函数f（x）是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）设函数g（x）=-

a

x

．若至少存在一个x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用求极值的方法，先求导，再判断函数f（x）单调性，然后判断是否存在极值；
（2）求含有参数的f（x）的单调区间，需要分类讨论；   
（3）本命题等价于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，设F（x）=f（x）-g（x），F（x）_min=F（1）=0，从而求得a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f(x)=x-

1

x

-2lnx，其定义域为（0，+∞）．
∵f′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=(

x-1

x

)2≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴函数f（x）不存在极值．
（2）函数f(x)=a(x-

1

x

)-2lnx的定义域为（0，+∞）．f′(x)=a(1+

1

x2

)-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，
当a≤0时，
∵f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减．
当a＞0时，
当x∈（0，+∞）时，方程f'（x）=0与方程ax²-2x+a=0有相同的实根，△=4-4a²=4（1-a²），
①当0＜a＜1时，△＞0，可得x1=

1- 1-a2

a

，x2=

1+ 1-a2

a

，且0＜x₁＜x₂，
∴x∈（0，x₁）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，x₁）上单调递增；       
∴x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0，所以f（x）在（x₁，x₂）上单调递减；     
∴x∈（x₂，+∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（x₂，+∞）上单调递增；   
②当a≥1时，△≤0，∴f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故f（x）在（0，+∞）上单调递增．
综上，当a≤0时，f（x）的单调减区间为（0，+∞）；
当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间为(0，

1- 1-a2

a

)与(

1+ 1-a2

a

，+∞)；单调减区间为(

1- 1-a2

a

，

1+ 1-a2

a

)；
当a≥1时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）．
（3）由存在一个x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，
得ax₀＞2lnx，即a＞

lnx0

x0

，
令F（x）=

2lnx

x

，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）_min”，
∵F′(x)=

2(1-lnx)

x2

，且当x∈[1，e]时，F′（x）≥0，
∴F（x）在[1，e]上单调递增，
故F（x）_min=F（1）=0，
因此a＞0．

点评：本题主要考查了函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．