Question

设△ABC的三个内角分别为A，B，C，向量

m

=（1，sin

C

2

+

3

cos

C

2

）与

n

=（cos

C

2

，

3 +2

2

）共线．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若D是BC边上一点，AC=2

3

，AD=2，求钝角△ACD的中线AE的长度．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,平面向量的综合题

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）通过向量平行，利用两角和与差的三角函数化简求出角C的大小；
（Ⅱ）通过D是BC边上一点，AC=2

3

，AD=2，利用正弦定理判断∠ADC，通过余弦定理求钝角△ACD的中线AE的长度．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

m

=（1，sin

C

2

+

3

cos

C

2

）与

n

=（cos

C

2

，

3 +2

2

）共线，
∴

3 +2

2

=cos

C

2

(sin

C

2

+

3

cos

C

2

)=sin

C

2

cos

C

2

+

3

cos²

C

2

=

1

2

sinC+

3

2

cosC+

3

2

=sin（C+

π

3

）+

3

2

∴sin（C+

π

3

）=1，
∴C=

π

6

．
（Ⅱ）由正弦定理，

2 3

sin∠ADC

=

2

sin π 6

，
∴∠ADC=60°或120°，
∵△ACD是钝角三角形，∴∠ADC=120°，∴CD=AD=2，∴CE=

1

2

CD=1，
由余弦定理：AE²=AC²+CE²-2AC•CEcosC，
∴AE2=12+1-4

3

•

3

2

=7，
∴AE=

7

．

点评：本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，向量的平行，考查计算能力．