Question

求出下列函数的值域：
①y=

1

x2-2x+3

；
②y=

1

x2-2x-3

；
③y=

x2

x2+2x+3

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：依次求函数的值域，注意讨论．①配方法；②配方法；③转化为方程的思想．

解答： 解：①∵

1

x2-2x+3

=

1

(x-1)2+2

，
∴0＜

1

(x-1)2+2

≤

1

2

，
故函数的值域为（0，

1

2

]；
②∵

1

x2-2x-3

=

1

(x-1)2-4

，
又∵（x-1）²-4≥-4，
∴

1

(x-1)2-4

≤-

1

4

或

1

(x-1)2-4

＞0，
∴函数的值域为（-∞，-

1

4

]∪（0，+∞）；
③∵y=

x2

x2+2x+3

，且x²+2x+3＞0
上式可化为（y-1）x²+2yx+3y=0，
当y-1=0时，方程有解，
当y-1≠0时，△=（2y）²-4（y-1）3y≥0，
解得，0≤y≤

3

2

．
综上所述，函数的值域为[0，

3

2

]．

点评：本题考查了求值域的方法，要注意它们之间的不同．