Question

10．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{lnx，x＞0}\\{\frac{m}{x}，x＜0}\end{array}}$，若f（x）-f（-x）=0有四个不同的根，则m的取值范围是（　　）

• A． （0，2e）
• B． （0，e）
• C． （0，1）
• D． （0，$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 由函数图象的对称性可得f（x）-f（-x）在（0，+∞）上有两解，分离参数得-m=xlnx，求出右侧函数的单调性和极值即可得出m的范围．

解答 解：∵f（x）-f（-x）=0有四个不同的根，
且y=f（x）与y=f（-x）的图象关于y轴对称，
∴f（x）=f（-x）在（0，+∞）上有2解，
即lnx=-$\frac{m}{x}$有2解，∴-m=xlnx有2解，
令g（x）=xlnx，则g′（x）=lnx+1，
∴当0＜x$＜\frac{1}{e}$时，g′（x）＜0，当x＞$\frac{1}{e}$时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上单调递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上单调递增，
当x=$\frac{1}{e}$时，f（x）取得极小值f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$．
作出g（x）的大致函数图象如图所示：

∵-m=xlnx有两解，
∴-$\frac{1}{e}$＜-m＜0，即0＜m＜$\frac{1}{e}$．
故选D．

点评 本题考查方程的根与函数的图象的关系，函数单调性判断与极值计算，属于中档题．