Question

2．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足2S_n=2ⁿ⁺¹+λ（λ∈R）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{（2n+1）{{log}_4}（{a_n}{a_{n+1}}）}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用对数的运算性质、裂项求和方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）依题意，当n=1时，2S₁=2a₁=4+λ，
故当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}={2^{n-1}}$；
因为数列{a_n}为等比数列，故a₁=1，故$\frac{4+λ}{2}=1$，解得λ=-2，
故数列{a_n}的通项公式为${a_n}={2^{n-1}}（{n∈{N^*}}）$．
（Ⅱ）依题意，${log_4}（{{a_n}a_{n+1}^{\;}}）={log_4}（{{2^{n-1}}•{2^n}}）=\frac{1}{2}（{2n-1}）$，
故${b_n}=\frac{1}{{（{2n+1}）{{log}_4}（{{a_n}a_{n+1}^{\;}}）}}=\frac{2}{{（{2n+1}）（{2n-1}）}}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，
故数列{b_n}的前n项和${T_n}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、对数的运算性质、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．