Question

20．抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，E是C的准线上位于x轴上方的一点，直线EF与C在第一象限交于点M，在第四象限交于点N，且|EM|=2|MF|=2，则点N到y轴的距离为$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由题意可知丨FM丨=1，|EM|=2，丨EF丨=3，根据相似三角形的性质，即可求得p的值，由丨EN丨=2丨DN丨，根据抛物线的定义，即可求得丨DN丨=3，点N到y轴的距离为丨DN丨-$\frac{p}{2}$．

解答 解：过M，N做MH⊥l，ND⊥l，垂足分别为H，D，
由抛物线的定义可得丨FM丨=丨MH丨，丨FN丨=丨DN丨
|EM|=2|MF|=2，则丨FM丨=1，|EM|=2，丨EF丨=3，
∴∠EMH=$\frac{π}{3}$，∠MEH=$\frac{π}{6}$，
∴p=$\frac{3}{2}$，抛物线的标准方程为y²=3x，
在Rt△EDN中，sin∠MED=$\frac{丨DN丨}{丨EN丨}$，
则丨EN丨=2丨DN丨，即丨EM丨+丨MF丨+丨DN丨=2丨DN丨，
则丨DN丨=3，
点N到y轴的距离为丨DN丨-$\frac{p}{2}$=3-$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{4}$，
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查抛物线的简单几何性质，抛物线的定义，考查三角形的相似，考查数形结合思想，属于中档题．