Question

1．已知Rt△ABC，AB=3，BC=4，CA=5，P为△ABC外接圆上的一动点，且$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}，则x+y$的最大值是（　　）

• A． $\frac{5}{4}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{17}}}{6}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 以AC的中点为原点，以ACx轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设P的坐标为（$\frac{5}{2}$cosθ，$\frac{5}{2}$sinθ），求出点B的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到x+y=$\frac{5}{6}$sin（θ+φ）+$\frac{1}{2}$，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案

解答 解：以AC的中点为原点，以ACx轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则△ABC外接圆的方程为x²+y²=2.5²，
设P的坐标为（$\frac{5}{2}$cosθ，$\frac{5}{2}$sinθ），
过点B作BD垂直x轴，
∵sinA=$\frac{4}{5}$，AB=3
∴BD=ABsinA=$\frac{12}{5}$，AD=AB•cosA=$\frac{3}{5}$×3=$\frac{9}{5}$，
∴OD=AO-AD=2.5-$\frac{9}{5}$=$\frac{7}{10}$，
∴B（-$\frac{7}{10}$，$\frac{12}{5}$），
∵A（-$\frac{5}{2}$，0），C（$\frac{5}{2}$，0）
∴$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{9}{5}$，$\frac{12}{5}$），$\overrightarrow{AC}$=（5，0），$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{5}{2}$cosθ+$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$sinθ）
∵$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$
∴（$\frac{5}{2}$cosθ+$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{2}$sinθ）=x（$\frac{9}{5}$，$\frac{12}{5}$）+y（5，0）=（$\frac{9}{5}$x+5y，$\frac{12}{5}$x）
∴$\frac{5}{2}$cosθ+$\frac{5}{2}$=$\frac{9}{5}$x+5y，$\frac{5}{2}$sinθ=$\frac{12}{5}$x，
∴y=$\frac{1}{2}$cosθ-$\frac{3}{8}$sinθ+$\frac{1}{2}$，x=$\frac{25}{24}$sinθ，
∴x+y=$\frac{1}{2}$cosθ+$\frac{2}{3}$sinθ+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{6}$sin（θ+φ）+$\frac{1}{2}$，其中sinφ=$\frac{3}{5}$，cosφ=$\frac{4}{5}$，
当sin（θ+φ）=1时，x+y有最大值，最大值为$\frac{5}{6}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{4}{3}$，
故选：B

点评 本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图象和性质，以及直角三角形的问题，考查了学生的分析解决问题的能力，属于难题．