Question

现有正整数1，2，3，4，5，…n，一质点从第一个数1出发顺次跳动，质点的跳动步数通过抛掷骰子来决定：骰子的点数小于等于4时，质点向前跳一步；骰子的点数大于4时，质点向前跳两步．
（Ⅰ）若抛掷骰子二次，质点到达的正整数记为ξ，求Eξ和Dξ；
（Ⅱ）求质点恰好到达正整数6的概率．

Answer 1

考点：二项分布与n次独立重复试验的模型

专题：应用题,概率与统计

分析：（I）由于ξ表示抛掷骰子二次，质点到达的正整数，由题意则ξ的取值有3，4，5，并利用随机变量得到定义求出每一个值下对应的事件的概率，有分布列定义求出其分布列，并根据期望定义求出期望．
（II）由题意质点恰好到达正整数6有三种情形，①抛掷骰子五次，出现点数全部小于等于4；②抛掷骰子四次，出现点数三次小于等于4，一次大于4；③抛掷骰子三次，出现点数一次小于等于4，二次大于4．利用独立事件的概率公式各自的概率，最后相加即可；

解答： 解：（Ⅰ）ξ的可能取值为3，4，5…（1分）
P(ξ=3)=

2

3

×

2

3

=

4

9

，P（ξ=4）

C

1 2

•

2

3

•

1

3

=

4

9

，P(ξ=5)=

1

3

×

1

3

=

1

9

…（4分）
ξ的分布列为

ξ	3	4	5
P	4 9	4 9	1 9

Eξ=3×

4

9

+4×

4

9

+5×

1

9

=

11

3

Dξ=

4

9

(3-

11

3

)2+

4

9

(4-

11

3

)2+

1

9

(5-

11

3

)2=

4

9

…（7分）
（Ⅱ）质点恰好到达6有三种情形
①抛掷骰子五次，出现点数全部小于等于4，概率P1=(

2

3

)5=

32

243

；…（8分）
②抛掷骰子四次，出现点数三次小于等于4，一次大于4，概率为P2=

C

1 4

(

2

3

)3

1

3

=

32

81

；（9分）
③抛掷骰子三次，出现点数一次小于等于4，二次大于4，概率P3=

C

2 3

(

1

3

)2

2

3

=

2

9

…（10分）
所以P=

32

243

+

32

81

+

2

9

=

182

243

即质点恰好到达正整数6的概率为

182

243

．    …（12分）

点评：此题重在准确理解题意，主要考查了独立事件同时发生的概率公式，随机变量的定义及其分布列，并利用随机变量的分布列求其期望．