Question

如图所示，用篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，假设墙有足够长．
（1）若篱笆的总长为40米，则这个矩形的长、宽各为多少米时，菜园的面积最大？
（2）若菜园的面积为32平方米，则这个矩形的长、宽各为多少米时，篱笆的总长最短？

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：（1）根据篱笆的总长为40米，可得x+2y=40，利用基本不等式，即可求面积的最值；
（2）由条件知S=xy=32，l=x+2y，利用基本不等式，即可得出结论．

解答： 解：设矩形菜园的一边长为xm，矩形菜园的另一边长为ym，
（1）由题知x+2y=40，…（2分）
由于x+2y≥2

x•2y

=2

2xy

，
∴S=xy≤200，当且仅当x=2y时等号成立．         …（4分）
由

x+2y=40 x=2y

⇒

x=20 y=10

故这个矩形的长为20m，宽为10m时，菜园的面积最大为200m²．…（6分）       
（2）由条件知S=xy=32，l=x+2y．
∵x+2y≥2

2xy

=16，当且仅当x=2y时等号成立．        …（10分）
由

x=2y xy=32

⇒

x=8 y=4

故这个矩形的长为8m、宽为4m时，可使篱笆的总长最短．   …（12分）

点评：本题考查基本不等式在最值问题中的应用，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力．