Question

已知函数f（x）=sin

x

2

，x∈R，将函数y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍（纵坐不变），得到函数g（x）的图象，则关于f（x）•g（x）有下列命题：
①函数y=f（x）•g（x）是奇函数；
②函数y=f（x）•g（x）不是周期函数；
③函数y=f（x）•g（x）的图象关于点（π，0）中心对称；
④函数y=f（x）•g（x）的最大值为

3

3

．
其中真命题为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：本题可先根据图象平移的规律求出g（x）的解析式，再研究函数f（x）•g（x）的奇偶性、周期性、对称性和最值，从而选出正确选项．

解答： 解：∵函数f（x）=sin

x

2

，x∈R，
∴将函数y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的

1

2

倍（纵坐不变），函数g（x）=sinx．
∴f（x）•g（x）=sinx•sin

x

2

．
记h（x）=sinx•sin

x

2

．
（1）h（-x）=sin（-x）•sin（-

x

2

）=（-sinx）•（-sin

x

2

）=sinx•sin

x

2

．
∴h（-x）=h（x）．
∴h（x）是偶函数．
假设h（x）是奇函数，则h（x）=0恒成立，与h（x）=sinx•sin

x

2

矛盾．
故假设不成立．
∴h（x）不是奇函数．即①不成立．
（2）∵h(x+4π)=sin(x+4π)•sin

x+4π

2

=sinx•sin(

x

2

+2π)=sinx•sin

x

2

=h（x），
∴h（x）是周期函数．故②不成立．
（3）设P（x，y）是函数y=h（x）图象上任意一点，
则 y=sinx•sin

x

2

．
点P（x，y）关于点（π，0）的对称点是P′（2π-x，-y），
∵sin(2π-x)•sin

2π-x

2

=sinx•sin(π-

x

2

)=-sinx•sin

x

2

=-y
∴点是P′（2π-x，-y）也在函数 y=sinx•sin

x

2

的图象上．
∴函数y=f（x）•g（x）的图象关于点（π，0）中心对称．
∴③成立．
（4）h（x）=sinx•sin

x

2

=2sin2

x

2

•cos

x

2

．
令cos

x

2

=t，则sin2

x

2

=1-t2．
H（x）=2（1-t²）t=-2t³+2t，（-1≤t≤1）
H′(t)=-6t2+2=-6(t-

3

3

)(t+

3

3

)．
当-1＜x＜-

3

3

时，H′（x）＜0，H（x）单调递减；
当-

3

3

＜x＜

3

3

时，H′（x）＞0，H（x）单调递增；
当

3

3

＜x＜1时，H′（x）＜0，H（x）单调递减．
∵H（-1）=2-2=0，H(

3

3

)=

4

9

3

，
∴H（x）的最大值为

4

9

3

．
∴④不成立．
故答案为③．

点评：本题考查了函数的图象平移、函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值，用到了换元法化简，导数法求最值．本题虽然是填空题，但计算量较大，思维要求高，属于中档题．