Question

函数f（x）=x³-3bx+3b在（0，1）内有极小值的充分不必要条件是（　　）

• A、b∈（0，1）
• B、b∈（1，+∞）
• C、b∈（

  1

  2

  ，1）
• D、b∈（-∞，1）

Answer 1

考点：函数在某点取得极值的条件

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：首先求出函数的导数，然后令导数为零，求出函数的极值点，进而求出函数f（x）=x³-3bx+3b在（0，1）内有极小值的充要条件，分析四个答案，与充要条件的包含关系，可得结论．

解答： 解：∵函数f（x）=x³-3bx+3b，
∴f′（x）=3x²-3b，
令f′（x）=0，则x=±

b

，
若函数f（x）=x³-3bx+3b在（0，1）内有极小值，
则

b

∈（0，1），即b∈（0，1），
故函数f（x）=x³-3bx+3b在（0，1）内有极小值的充要条件为b∈（0，1），
分析四个答案，
∵（

1

2

，1）?（0，1），
故函数f（x）=x³-3bx+3b在（0，1）内有极小值的充分不必要条件可以是b∈（

1

2

，1），
故选：C

点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，充要条件，其中熟练掌握函数在某点取得极值的条件是解答的关键．