Question

13．已知F₁、F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点．若椭圆C上存在点P，使得线段PF₁的中垂线恰好过焦点F₂，则椭圆C离心率的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{2}{3}$，1）
• B． [$\frac{1}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• C． [$\frac{1}{3}$，1）
• D． （0，$\frac{1}{3}$]

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀），则$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$=1．则线段PF₁的中点M$（\frac{{x}_{0}-c}{2}，\frac{{y}_{0}}{2}）$．由于线段PF₁的中垂线恰好过焦点F₂，可得${k}_{P{F}_{1}}{k}_{{F}_{2}M}$=-1，化简解得x₀=$\frac{{a}^{2}-2ac}{c}$，利用-a≤x₀≤a，解出即可得出．

解答 解：设P（x₀，y₀），则$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$=1．
则线段PF₁的中点M$（\frac{{x}_{0}-c}{2}，\frac{{y}_{0}}{2}）$．
∵线段PF₁的中垂线恰好过焦点F₂，
∴${k}_{P{F}_{1}}{k}_{{F}_{2}M}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+c}$•$\frac{\frac{{y}_{0}}{2}-0}{\frac{{x}_{0}-c}{2}-c}$=-1，
化为：$\frac{{y}_{0}^{2}}{（{x}_{0}+c）（{x}_{0}-3c）}=-1$，
∴${b}^{2}（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}）$+（x₀+c）（x₀-3c）=0，
化为：${c}^{2}{x}_{0}^{2}$-2a²cx₀+b²a²-3a²c²=0，
解得x₀=$\frac{{a}^{2}-2ac}{c}$，
由于-a≤x₀≤a，
∴-a≤$\frac{{a}^{2}-2ac}{c}$≤a，又0＜e＜1，
解得$\frac{1}{3}≤e$＜1．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．