Question

16．如图，在四棱锥A-BCD中，△ABD、△BCD均为正三角形，且平面ABD⊥平面BCD，点O，M分别为棱BD，AC的中点，则异面直线AB与OM所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{4}$

Answer 1

分析 如图所示，连接OA，OC，取BC的中点E，连接ME，OE，则∠EMO（或其补角）为异面直线AB与OM所成角．利用余弦定理可得结论．

解答 解：如图所示，连接OA，OC，取BC的中点E，连接ME，OE，则
∠EMO（或其补角）为异面直线AB与OM所成角，
∵O为棱BD的中点，
∴OA⊥BD，
∵平面ABD⊥平面BCD，
∴OA⊥平面BCD．
设AB=2，则EM=EO=1，AO=CO=$\sqrt{3}$，∴OM=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴异面直线AB与OM所成角的余弦值为$\frac{1+\frac{6}{4}-1}{2×1×\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查空间角，考查学生的计算能力，确定异面直线AB与OM所成角是关键．