Question

7．已知向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$不共面，则满足A，B，C，P四点共面的条件是（　　）

• A． $\overrightarrow{OP}$=2x$\overrightarrow{AO}$+3y$\overrightarrow{BO}$+4z$\overrightarrow{CO}$，且2x+3y+4z=1
• B． $\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$
• C． $\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+3$\overrightarrow{AC}$
• D． $\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$

Answer 1

分析 利用空间向量四点共面基本定理即可得出答案．

解答 解：若A，B，C，P四点共面，$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$+z$\overrightarrow{OC}$，则x+y+z=1，
故A中，$\overrightarrow{OP}$=2x$\overrightarrow{AO}$+3y$\overrightarrow{BO}$+4z$\overrightarrow{CO}$=-2x$\overrightarrow{OA}$-3y$\overrightarrow{OB}$-4z$\overrightarrow{OC}$，当-（2x+3y+4z）=1，即2x+3y+4z=-1时，A，B，C，P四点共面，故错误；
B中，$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$时，$\overrightarrow{OP}$=-$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$，此时三个系数和为-3≠1，故错误；
C中，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+3$\overrightarrow{AC}$时，$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$+3（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$），即$\overrightarrow{OP}$=-3$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+3$\overrightarrow{OC}$，此时三个系数和为1，故A，B，C，P四点共面，故正确；
D中，$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$时，$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$，即$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$，此时三个系数和为2≠1，故错误；
故选：C

点评 本题考查了空间向量四点共面基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．