Question

13．（理科）如图，在空间四面体ABCD中，若E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，且AD⊥BC
（1）求证：四边形EFGH是矩形．
（2）求证：AD∥平面EFGH．

Answer 1

分析 （1）推导出EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AD$，GH$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AD$，从而EF$\underset{∥}{=}$GH，由此能证明四边形EFGH是平行四边形，再由AD⊥BC，得EF⊥GF，从而四边形EFGH是矩形．
（2）推导出EF∥AD，由此能证明BC∥平面EFGH．

解答 证明：（1）∵在空间四面体ABCD中，
E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，
∴EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AD$，GH$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AD$，
∴EF$\underset{∥}{=}$GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵E，F分别是AB，DB的中点，∴EF∥AD，
∵G，F分别是DC，DB的中点，∴GF∥BC，
∵AD⊥BC，∴EF⊥GF，
∴四边形EFGH是矩形．
（2）∵E，F分别是AB，DB的中点，∴EF∥AD，
∵EF?平面EFGH，AD?平面EFGH，
∴AD∥平面EFGH．

点评 本题考查四边形是矩形的证明，考查线面平行的证明，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是基础题．