Question

3．已知实数u，v，x，y满足u²+v²=1，$\left\{\begin{array}{l}x+y-1≥0\\ x-2y+2≥0\\ x≤2\end{array}\right.$，则z=ux+vy的最大值是2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 画出约束条件的可行域，求出角点坐标，利用三角代换求解目标函数的最大值即可．

解答 解：约束条件的$\left\{\begin{array}{l}x+y-1≥0\\ x-2y+2≥0\\ x≤2\end{array}\right.$可行域如图三角形区域：A（2，1），B（2，-1），C（0，1），u²+v²=1
设u=sinθ，v=cosθ，
目标函数经过A时，z=2sinθ+2cosθ=2$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）$≤2\sqrt{2}$．
目标函数经过B时，z=2sinθ-cosθ=$\sqrt{5}$sin（θ+β）$≤\sqrt{5}$．（其中tanβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$）．
目标函数经过C时，z=sinθ≤1．
所以目标函数的最大值为：2$\sqrt{2}$．
故答案为：$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查线性规划的简单应用，“角点法”以及三角函数的化简求解最值是解题的关键，考查计算能力．