Question

2．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，直线2x-y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q．
（1）若直线AB过焦点F，求抛物线C的方程；
（2）若QA⊥QB，求p的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，求出直线2x-y+2=0与y轴的交点坐标，即可得抛物线焦点坐标，进而可得抛物线的方程；
（2）联立直线与抛物线的方程，可得x²-4px-4p=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将QA⊥QB转化为$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=0$，由根与系数的关系分析可得$5{x_1}{x_2}+（4-6p）（{x_1}+{x_2}）+8{p^2}-8p+4=0$，代入得4p²+3p-1=0，解可得答案．

解答 解：（1）根据题意，直线2x-y+2=0与y轴的交点为（0，2），
则F（0，2），
∴抛物线C的方程为x²=8y；
（2）由 $\left\{\begin{array}{l}y=2x+2\\{x^2}=2py\end{array}\right.$得：x²-4px-4p=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4p，x₁x₂=-4p，
∴Q（2p，2p），∵QA⊥QB，则$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=0$，
（x₁-2p）（x₂-2p）+（y₁-2p）（y₂-2p）=0，
（x₁-2p）（x₂-2p）+（2x₁+2-2p）（2x₂+2-2p）=0，
$5{x_1}{x_2}+（4-6p）（{x_1}+{x_2}）+8{p^2}-8p+4=0$，
代入得4p²+3p-1=0，解得$p=\frac{1}{4}$或p=-1（舍去）
∴$p=\frac{1}{4}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，关键是由抛物线焦点坐标求出抛物线的方程．