Question

10．甲将要参加某决赛，赛前A，B，C，D四位同学对冠军得主进行竞猜，每人选择一名选手，已知A，B选择甲的概率均为m，C，D选择甲的概率均为n（m＞n），且四人同时选择甲的概率为$\frac{9}{100}$，四人均未选择甲的概率为$\frac{1}{25}$．
（1）求m，n的值；
（2）设四位同学中选择甲的人数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）根据相互独立事件概率计算公式列出关于m，n的方程组，能求出结果．
（2）先求出随机变量X的所有可能取值，然后根据独立重复事件的概率计算公式可得到各自的概率，并列出分布列，然后根据数学期望的计算公式能求出结果．

解答 解：由已知得$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}{n}^{2}=\frac{9}{100}}\\{（1-m）^{2}（1-n）^{2}=\frac{1}{25}}\\{m＞n}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{3}{5}$，n=$\frac{1}{2}$．
（2）由题意X的可能取值为0，1，2，3，4，
P（X=0）=$\frac{1}{25}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}×\frac{3}{5}×（1-\frac{3}{5}）×（1-\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{3}{5}）^{2}×$${C}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）=\frac{1}{5}$，
P（X=2）=${C}_{2}^{1}×\frac{3}{5}×（1-\frac{3}{5}）×{C}_{2}^{1}×（1-\frac{1}{2}）+（\frac{3}{5}）^{2}×$$（1-\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{3}{5}）^{2}×（1-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{37}{100}$，
P（X=3）=${C}_{2}^{1}×\frac{3}{5}×（1-\frac{3}{5}）×（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{3}{5}）^{2}×{C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）=\frac{3}{10}$，
P（X=4）=$\frac{9}{100}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{25}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{37}{100}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{9}{100}$

E（X）=$0×\frac{1}{25}+1×\frac{1}{5}+2×\frac{37}{100}+3×\frac{3}{10}+4×\frac{9}{100}$=2.2．

点评 本题考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查学生基本的统计知识和综合应用知识的能力，是中档题．