Question

若等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足

Sn

S2n

为常数，则称该数列为“优”数列．
（1）判断a_n=4n-2是否为“优”数列？并说明理由；
（2）若首项为1，且公差不为零的等差数列{a_n}为“优”数列，试求出该数列的通项公式；
（3）若首项为1，且公差不为零的等差数列{a_n}为“优”数列，正整数k，h满足k+h=2013，求

4

Sk

+

1

Sh

的最小值．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用“优”数列，代入验证即可；
（2）由

Sn

S2n

=k，首项为1，可得2n+n²d-nd=4kn+4n²dk-2nkd，化简得d（4k-1）n+（2k-1）（2-d）=0，从而可得

d(4k-1)=0 (2k-1)(2-d)=0

，即可得出结论；
（3）

4

Sk

+

1

Sh

=

4

k

+

1

h

=

1

2013

（k+h）（

4

k

+

1

h

），利用基本不等式，即可得出结论．

解答： 解：（1）由a_n=4n-2，得a₁=2，d=4，
∴

Sn

S2n

=

n 2 (2+4n-2)

2n 2 (2+8n-2)

=

1

4

，
∴a_n=4n-2是“优”数列；
（2）设等差数列{a_n}，公差为d，则由

Sn

S2n

=k，首项为1，可得2n+n²d-nd=4kn+4n²dk-2nkd，
化简得d（4k-1）n+（2k-1）（2-d）=0①，
由于①对任意正整数n均成立，∴

d(4k-1)=0 (2k-1)(2-d)=0

，
∴d=2，k=

1

4

，
∴a_n=2n-1；
（3）由（2）知a_n=2n-1，正整数k，h满足k+h=2013，
∴

4

Sk

+

1

Sh

=

4

k

+

1

h

=

1

2013

（k+h）（

4

k

+

1

h

）=

1

2013

（5+

k

h

+

4h

k

）≥

1

2013

（5+4）=

3

671

，
当且仅当k=2h=1342时，

4

Sk

+

1

Sh

的最小值为

3

671

．

点评：本题考查新定义，考查等差数列的求和公式，考查基本不等式的运用，综合性强．