题目内容
已知二阶矩阵M=
有特征值λ=-1及对应的一个特征向量
=
．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）设曲线C在矩阵M的作用下得到的方程为x2+2y2=1，求曲线C的方程．
|
| e1 |
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（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）设曲线C在矩阵M的作用下得到的方程为x2+2y2=1，求曲线C的方程．
考点：特征值与特征向量的计算,变换、矩阵的相等,矩阵特征值的定义
专题：选作题,矩阵和变换
分析：（I）根据矩阵的特征值与特征向量的定义建立等式关系，解之即可求出a和d的值，从而求出矩阵M；
（II）设点A（x，y）为曲线C上的任一点，它在矩阵M的作用下得到的点为A'（x'，y'），然后建立等式关系，将A'（x'，y'）代入方程为x2+2y2=1进行求解即可．
（II）设点A（x，y）为曲线C上的任一点，它在矩阵M的作用下得到的点为A'（x'，y'），然后建立等式关系，将A'（x'，y'）代入方程为x2+2y2=1进行求解即可．
解答：
解：（Ⅰ）
=-1×
=
，∴
解得
，∴M=
．…（4分）
（Ⅱ）设点A（x，y）为曲线C上的任一点，它在矩阵M的作用下得到的点为A'（x'，y'），
则
=
，所以
代入x2+2y2=1得（2x+y）2+2•（3x）2=1，
所以所求的曲线方程为22x2+4xy+y2=1．…（7分）
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解得
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（Ⅱ）设点A（x，y）为曲线C上的任一点，它在矩阵M的作用下得到的点为A'（x'，y'），
则
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所以所求的曲线方程为22x2+4xy+y2=1．…（7分）
点评：本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化归与转化思想．
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