Question

16．已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）在x=$\frac{π}{3}$处取得最大值，则函数y=f（x+$\frac{π}{3}$）是（　　）

• A． 奇函数且它的图象关于点（π，0）对称
• B． 奇函数且它的图象关于点（$\frac{3π}{2}$，0）对称
• C． 偶函数且它的图象关于点（$\frac{3π}{2}$，0）对称
• D． 偶函数且它的图象关于点（π，0）对称

Answer 1

分析 首先，根据已知得到f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+θ），然后根据最值正弦函数图象的性质得到θ=2kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z），再化简函数f（x+$\frac{π}{3}$），从而求解问题．

解答 解：∵f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+θ），在x=$\frac{π}{3}$处取得最大值，
∴$\frac{π}{3}$+θ=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），则θ=2kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z），
∴f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$cosx，
∴该函数是偶函数且它的图象关于点（$\frac{3π}{2}$，0）对称．
故选：C．

点评 本题重点考查了辅助角公式、三角函数的最值、函数的基本性质等知识，属于中档题．