Question

6．已知点A（m，n）是抛物线M：y²=2px（p＞0）上的动点，点B是圆C：（x-2）²+y²=1上的动点，当且仅当m=$\frac{3}{2}$时，|AB|取得最小值．
（1）求抛物线方程；
（2）已知等边三角形△ABC的三个顶点在抛物线M上，△ABC的重心Q落在双曲线$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{9{y}^{2}}{8}$=1上，求点Q坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意，|AC|的最小值为$\frac{5}{2}$，求出A 的坐标，代入抛物线方程，求出p，即可求抛物线方程；
（2）由题意，不妨设A（0，0），B（$\sqrt{3}$a，a），C（$\sqrt{3}$a，-a），B（$\sqrt{3}$a，a）代入y²=2px，可得a=2$\sqrt{3}$p，△ABC的重心Q（4p，0），利用△ABC的重心Q落在双曲线$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{9{y}^{2}}{8}$=1上，即可求点Q坐标．

解答 解：（1）由题意，|AC|的最小值为$\frac{5}{2}$，
∴$\sqrt{（\frac{3}{2}-2）^{2}+{n}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，∴n=$±\sqrt{6}$，
A代入抛物线M：y²=2px（p＞0），可得6=2p×$\frac{3}{2}$，∴p=2，
∴抛物线方程为y²=4x；
（2）由题意，不妨设A（0，0），B（$\sqrt{3}$a，a），C（$\sqrt{3}$a，-a），
B（$\sqrt{3}$a，a）代入y²=2px，可得a=2$\sqrt{3}$p，
∴△ABC的重心Q（4p，0），
∵△ABC的重心Q落在双曲线$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{9{y}^{2}}{8}$=1上，
∴4p=2$\sqrt{2}$，∴p=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴Q（2$\sqrt{2}$，0）．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．