Question

1．已知函数f（x）=x²+（a-1）x+b+1，当x∈[b，a]时，函数f（x）的图象关于y轴对称，数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=f（n+1）-1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）依题意，可求得a=1，b=-1，从而得S_n=n²，于是可求得a₁及a_n=S_n-S_n-1=2n+1（n≥2），观察即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）得b_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，利用错位相减法可求得T_n=5-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$．

解答 解：（1）∵函数f（x）的图象关于y轴对称，
∴a-1=0且a+b=0，
解得a=1，b=-1，
∴f（x）=x²，
∴S_n=f（n+1）-1=（n+1）²-1=n²+2n
即有a_n=S_n-S_n-1=2n+1（n≥2），a₁=S₁=1也满足，
∴a_n=2n+1；
（2）由（1）得b_n=$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，
T_n=$\frac{3}{2}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+$\frac{7}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n+1}{{2}^{n}}$，①

∴$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+$\frac{7}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$，②

①-②得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{3}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{2}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n}}$-$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{3}{2}$+2×$\frac{\frac{1}{2}[1-\frac{1}{{2}^{n-1}}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{3}{2}$+2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n+1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{7}{2}$-$\frac{2n+5}{{2}^{n+1}}$．
∴T_n=7-$\frac{2n+5}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列通项公式与数列的求和，着重考查数列的错位相减法，属于中档题．