Question

8．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足|${\overrightarrow a}$|=2，|${\overrightarrow b}$|=3，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$夹角的余弦值为$\frac{1}{3}$，则$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$可以是（　　）

• A． 4
• B． -3
• C． $-2\sqrt{3}$
• D． -2

Answer 1

分析 由已知展开$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$，代入|${\overrightarrow a}$|=2，|${\overrightarrow b}$|=3，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$夹角的余弦值为$\frac{1}{3}$，即可求得$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$．

解答 解：由已知向量量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$满足|${\overrightarrow a}$|=2，|${\overrightarrow b}$|=3，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$夹角的余弦值为$\frac{1}{3}$，
得$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）=|\overrightarrow{a}|\\;|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|×\frac{1}{3}$$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|×\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{4+9+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$，
即$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{2}{3}×\sqrt{13+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-2$或$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-\frac{46}{9}$．
故选：D．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，是中档题．