Question

【题目】已知函数.

（1）证明：对任意的，函数的图像与直线最多有一个交点；

（2）设函数，若函数与函数的图像至少有一个交点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：两个函数图象的交点个数问题等价转化后为方程的解的个数讨论问题，针对参数b和两种情况进行讨论，研究图象的交点个数；当研究对数方程时，利用同底对数相等，只需真数大于零且相等，令转化为二次方程的根的分布问题，根据判别式等要求，列不等式求解.

试题解析：

（1）证明：原问题等价于解的讨论.

因为，即.

当时，方程无解，即两图像无交点；

当时，方程有一解，即两图像有一个交点，得证.

（2）函数与函数的图像至少有一个交点，等价于方程

至少有一个解.即.

设，即方程至少有一个正解.

当时，即

∵ ∴不符合题意

当时，方程有一个正解，符合题意.

当时，即.此时方程有两个不同的正解.

综上所述：实数的取值范围是.

转化成.利用函数单调性也可以处理.