Question

已知函数（是自然对数的底数）.
（1）若曲线在处的切线也是抛物线的切线，求的值；
（2）当时，是否存在，使曲线在点处的切线斜率与 在
上的最小值相等？若存在，求符合条件的的个数；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）或;(2).

试题分析：(1)对在处求导，求出切线方程，与抛物线方程联立，根据可求解；(2)求导解出的最小值为1，对曲线C求导，令导函数为1，得到方程，构造新函数，用求导方法判断其零点个数，得解.
试题解析：（1），                                         1分
所以在处的切线为
即：                                                      2分
与联立，消去得，
由知，或.                                    4分
（2）当时，令 得 

	单调递减	极小值	单调递增

则                                                          6分
设，
则，                         7分
假设存在实数，使曲线在点处的切线斜率与
在上的最小值相等，即为方程的解，                             8分
令得：，因为， 所以.    10分
令，则 ，                        11分
当是，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
,故方程 有唯一解为 ，               13分
所以存在符合条件的，且仅有一个.                              14分